Aufgaben zum Thema Exponentialfunktionen

E_Funktionen_Erste.doc

1.Aufgabe:

Gegeben ist f durch das Schaubild sei K.

a) Berechne Sie die Asymptote, Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem- und

Wendepunkte. Zeichne das Schaubild für −7 ≤ x ≤ 4,2 mit Längeneinheit 1 cm.

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen h im Schnittpunkt W mit der y-Achse.

In welchem weiteren Punkt S schneidet h die Kurve K noch einmal ?

Berechnen Sie seine Koordinaten.

c) Die Gerade mit der Gleichung x = u (u < 4) schneidet K in P und die

x-Achse in Q. N sei der Schnittpunkt von K mit der x-Achse.

Berechnen Sie den Inhalt des Dreiecks PQN. Für welches u nimmt dieser Inhalt

einen Extremwert an ? Wie groß ist dieser ?

(Auf die hinreichende Bedingung und Randwertuntersuchung darf verzichtet

werden).

d) K und die x-Achse schließen eine bis ins Unendliche reichende Fläche ein.

Überprüfen Sie, ob deren Inhalt endlich ist.

2.Aufgabe

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung:

a) Bestimmen Sie für das Schaubild K von f die Schnittpunkte mit den

Koordinatenachsen und die Asymptote. Untersuchen Sie, ob es Extrem- und

Wendepunkte gibt.

Zeichnen Sie das Schaubild für [ - 2 ; 6 ] mit Längeneinheit 1 cm.

Wie entsteht diese Kurve K aus der Kurve C mit der Gleichung y = e^−x ?

b) Stellen Sie die Gleichung der Tangente im Schnittpunkt N mit der x-Achse auf und zeichne diese ein.

c) Flächenberechnung mit Integration:

Das Schaubild K von f, seine waagerechte Asymptote und die Geraden x = 0

und x = r (mit r > 0) begrenzen eine Fläche. Berechne deren Inhalt A(r).

Welchen Grenzwert A* hat diese Fläche, wenn r ® −∞ geht ?

d) In welchem Verhältnis teilt die Tangente im Schnittpunkt S der Kurve mit der

y-Achse die Fläche A* ?

3. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit

a)Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der x- und y-Achse.

b)Zeichnen Sie den Graphen im Bereich von [-8;1]. Wertetabelle anfertigen mit 0,5-Schritten für die x-Werte.

c) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve und die beiden Koordinatenachsen einschließen. Markieren Sie die Fläche.

d)Wie verhält sich die Kurve für x ® ±¥?