Aufgaben zum Thema Exponential- und Ln-funktionen

E_Funktionen_Vierte.doc

1.Aufgabe:

Für jedes k ( k Î Â; k>0) ist eine Funktion gegeben durch

f_k(x) =

a) Führen Sie für die Funktion f_k eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, lokale Extrempunkte, Art der Extrema, Wendepunkte). Zeichnen Sie die Graphen für k = 1,2,3 (Wertetabelle!).

b) Ermitteln Sie die Ortskurve der lokalen Extrema und stellen diese im Koordinatenkreuz von a) dar.

c) Der Graph der Funktion für k = 2, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung

x = t (t Î Â; t > 0) begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

d) Der Graph der Funktion für k = 1 rotiert im Bereich von x = 0 und x = 2 um die x-Achse. Ermitteln Sie die Größe des Rotationsvolumens!

e) Durch den Koordinatenursprung O, den Punkt P(x;0) und den Punkt Q(x;f₁(x)) wird für jedes x (x Î Â; x > 0) ein Dreieck bestimmt (k = 1). Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den ein solches Dreieck annehmen kann.

2.Aufgabe: Für jedes a (a Î Â) ist eine Funktion f_a durch f_a(x) = 2x ln (x) – a x mit x Î D_fa gegeben.

a)Geben Sie den der Definitionsbereich der Funktion f_a an. Berechnen Sie die Koordinaten des Graphen der Funktion f_a mit der x-Achse sowie des lokalen Extrempunktes und weisen Sie die Art des Extremums nach. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f_a keinen Wendepunkt besitzt.

b) Die Graphen der Funktion f_a und ihrer Ableitungsfunktion f_a’(x) schließen eine Fläche vollständig ein. Bestimmen Sie deren Inhalt.

c) Der Graph der Funktion f₂ soll im Intervall 0,1 £ x £ 1,9 durch die Graphen der Funktionen g₁ bzw. g₂ näherungsweise beschrieben werden.

Die Funktion g₁ ist gegeben durch:

Die Funktion g₂ ist quadratisch und ihr Graph verläuft durch die Punkte P₁(0,1 / f₂(0,1)), P₂(1 / f₂(1)) und P₃(1,9 / f₂(1,9)).

Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion g₂.

Bestimmen Sie jeweils die maximale Abweichung der Funktionswerte mit g₁(x) von f₂(x) und der Funktionswerte g₂(x) von f₂(x) im vorgegebenen Intervall.

d) Im Punkt P(z / f₂(z)) mit z>1 wird an den Graphen der Funktion f₂ die Tangente t gelegt, die zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck bildet. Bestimmen Sie den Wert z, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks ein lokales Extremum besitzt. Geben Sie den extremen Flächeninhalt sowie die Art des Extremums an.

e) Für jedes u (u Î Â, u>e^1,5) begrenzen der Graph der Funktion f₃, die Gerade mit der Gleichung x = u und die x-Achse im Intervall [e^1,5;u] eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Wert für u, für den der Inhalt dieser Fläche 0,5 × e³ beträgt.

3.Aufgabe: Die momentane Ankunftsrate an einem Kino – also die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute – soll modellhaft beschrieben werden durch die Funktion f mit:

f(x) = 0,27 × x² × e^{-0,12 x}

Dabei ist x die Zeit in Minuten seit 19.00 Uhr und f(x) die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute.

Vor 19.00 Uhr befinden sich noch keine Besucher am Kartenschalter.

a) Skizzieren Sie das Schaubild von f.

Wann kommen die meisten Besucher pro Minute zum Kartenschalter, wie viele sind das ?

Ab wann kommen weniger als drei Personen pro Minute zum Kino?

b) Zeigen Sie, dass Anzahl der angenommenen Personen durch die Funktion g mit

g(x) = 312,5 – (2,25 x² + 37,5 x + 312,5) × e^{-0,12 x} beschrieben wird.

Wie viele Personen kommen nach diesem Modell höchstens zum Kino?

c) Um 19.20 Uhr öffnet der Kartenschalter des Kinos. Pro Minute können durchschnittlich für 6 Personen Karten ausgegeben werden.

Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen, die ab 19.20 Uhr zum Kino kommt?

Wann ist die Anzahl der Wartenden am größten?

Wie viele Besucher warten dann?

Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst?

d) Durch eine Verzögerung öffnet der Kartenschalter erst um 19.50 Uhr. Wie viele Personen müssen jetzt mindestens pro Minute am Schalter abgefertigt werden, damit die Warteschlange um 20.30 Uhr abgebaut ist?

4.Aufgabe: Gegeben sind Funktionen f_a mit

mit a>0

a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen f_a an. Bestimmen Sie die Nullstellen sowie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte. Weisen Sie die Art der Extrema nach. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graph alle lokalen Extrempunkte der Funktionen f_a liegen

b) Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionen f_a keine gemeinsamen Punkte besitzen.

c) Es gibt genau eine Gerade mit der Gleichung y=c (c Î Â, c>0), die mit dem Graph der Funktion f_a(a = 1/10) genau zwei Punkte S1 und S 2 gemeinsam hat. Ermitteln Sie die Länge der Strecke .

d) Für jedes a mit a>0 existiert eine Tangente t_a an den Graphen von f_a im Schnittpunkt S (x>0) mit der x-Achse. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente.

Durch die x-Achse, die Tangente t_a und durch die Gerade, die durch den Koordinatenursprung und den jeweiligen lokalen Hochpunkt bestimmt ist, wird für jedes a ein Dreieck begrenzt. Weisen Sie nach, dass alle so gebildeten Dreiecke zueinander ähnlich sind.

Außerdem sind Funktionen h_t mit gegeben.

e) Durch die Graphen der Funktionen f_a (a = 1/10), h₂ und die Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=2 wird eine Fläche vollständig begrenzt.

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche unter Verwendung der Funktionen F_a mit als Stammfunktionen der Funktionen f_a.

f) Für jede Funktion hat wird für jedes x mit x>0 durch die Punkte O(0/0), Q(x/0) und P_t(x/h_t(x)) genau ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt. Jedes dieser Dreiecke erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen geraden Kreiskegel. Ermitteln Sie die Stelle in Abhängigkeit von t, für die das Volumen des zugehörigen Kreiskegels maximal ist.

Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Maximums kann verzichtet werden.

Lösung

1.Aufgabe: a)Nullstellen: fk(x) = 0 ergibt: Sx(0/0)

Extrema: erste Ableitung:fk’(x) = fk’’(x) =

Setzt man fk’(x) = 0, so erhält man: x= oder x = . Jetzt ist noch die 2. Ableitung zu überprüfen:

fk’’() = > 0 damit liegt hier ein Minimum vor

fk’’() = < 0 damit liegt hier ein Maximum vor

HP(/) und TP(/ )

Wendepunkte: Hier gilt: fk’’(x) = 0 und fk’’’(x) ¹ 0.

fk’’(x) = und fk’’’(x) =

für die möglichen Wendestellen erhält man: x = oder x = 0 oder

x =

Die Überprüfung von fk’’’(x) ergibt:

fk’’’() = ¹ 0

fk’’’(0) = ¹ 0

fk’’’() ¹ 0

Damit liegen 3 Wendestellen vor.

W1( / ) W2 (0 / 0 ) W3( / )

Der Graph für k = 1, 2 und 3

b) Die Ortskurve der lokalen Extrema:

HP(/) , d.h. x = (1) und y = (2).

Löst man die erste Gleichung nach k auf und ersetzt k in der 2. Gleichung durch diesen Term, so erhält man: y =

In der Graphik ist die Ortskurve die blaue Kurve.

c) Man bestimmt die Stammfunktion mit Hilfe der Substitution. Dazu setzt man z = x². Im Integral muss noch dz ersetzt werden. Leitet man z ab, so erhält man: z’ = dz/dx = 2x und nach dx aufgelöst: dx = dz/2x. Dieses setzt man ein und erhält dann:

Jetzt muss man noch die Grenzen a=0 und b=t>0 einsetzen und erhält letztlich:

Flaeche =

d)Für das Rotationsvolumen benutzt man die bekannte Formel mit Hilfe des Integrals:

Eine Stammfunktion zu dieser Funktion ist mit Hilfe der den Schülern bekannte Regeln (Substitution, partielle Integration) nicht zu bestimmen. Eine Lösung ist nur mit einem CAS-Systemen anzugeben. Mit Mathematica erhält man mit dem Befehl (Nintegrate = numerische Integration)

= 0,625946 V.E.

e)

Die Fläche des Dreiecks bestimmt sich zu:

Flache(x) =

Um ein Extrema zu bestimmen, muss man die 1. Ableitung bilden und dann mit der hinreichenden Bedingung (Flaeche’(x) = 0) die Extremstellen berechnen.

Flaeche’(x) = und Flaeche’’(x) =

Man erhält als mögliche Extremstellen: x=-1 , x=0, x=1. Hier bleibt nur wegen der angegebenen Bedingungen x=1 übrig.

Flaeche’’(1) = -4/e < 0 also handelt es sich um einen HP.

Man erhält dann: Flaeche(1) = 1/e F.E. » 0,367879 F.E.