Aufgaben zum Thema Exponentialfunktionen

E_Funktionen_Zweite.doc

1.Aufgabe:  Gegeben ist die Funktion f(x) mit f(x) = 6 x e^-x

a) Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der x-Achse.

b) Gibt es einen Schnittpunkt mit der x-Achse? Begründen Sie Ihre Antwort.

c) Untersuchen Sie die Funktion auf Extremwerte und Wendepunkte.

d) Zeichnen Sie den Graphen im Bereich von 0 £ x £ 6. Legen Sie eine Wertetabelle an.  

d) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im Bereich 0 £ x £ 5 und kennzeichnen Sie diese Fläche.

e) Bestimmen Sie die Randwerte der Funktion.

2.Aufgabe: Durch f(t) = 20 t e^{-1/2 t} mit t = Zeit in Stunden nach der Einnahme und f(t) = mg/Liter wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten beschrieben. Die folgenden Betrachtungen sind nur für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der Einnahme des Medikaments durchzuführen.

a) Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist dieser höchste Wert?

b) Berechnen Sie den Wendepunkt und machen Sie eine Aussage über dessen Bedeutung im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung.

c) Stellen Sie für die ersten 12 Stunden eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

d) Wie hoch ist die mittlere Konzentration des Medikaments innerhalb der ersten 12 Stunden?

3. Aufgabe: Gegeben sei die Funktion f_k(x) = e^2x – k e^x mit k>0 und x ÎÂ.

a)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Achsenschnittpunkte.

b)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Extrempunkte.

c)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Wendepunkte.

d)Bestimmen Sie die Funktionswerte für die Grenzen des Definitionsbereichs.

e)Bestimmen Sie die Fläche A_k zwischen den Achsenschnittpunkten und der x-Achse.

f)Fertigen Sie eine Wertetabelle für x =  -3;-2,5;-2,….1;1,5 an und zeichnen Sie den Graphen für k = 2;3;4;5 in ein Koordinatensystem

g)Berechnen Sie die Ortskurve f_ok(x) der Tiefpunkte von f_k(x) und zeichnen Sie diese in das Koordinatensystem.

h)Berechnen Sie für k = 5 die Fläche A_k.

4.Aufgabe: Gegeben sei die Funktion

a)Untersuchen Sie f_k auf Achsenschnittpunkte und berechnen Sie diese.

b)Bilden Sie die ersten drei Ableitungen von f_k(x).

c)Untersuchen Sie f_k auf Extrempunkte und berechnen Sie diese.

d)Untersuchen Sie f_k auf Wendepunkte und berechnen Sie diese.

e)Bestimmen Sie die Funktionswerte für die Grenzen des Definitionsbereichs.

f)Bestimmen Sie die Ortskurve f_ok(x) für die Extrempunkte.

g)Bestimmen Sie die Fläche A_k zwischen den Achsenschnittpunkten und der x-Achse.

h)Fertigen Sie eine Wertetabelle für x =  -3;-2;,….4;5 an und zeichnen Sie den Graphen für k = 1;2;3;4 in ein Koordinatensystem.

i)Berechnen Sie für k=1 die Fläche A_k und kennzeichnen Sie diese im Koordinatensystem.

5.Aufgabe: Gegeben sei die Funktion

a)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Achsenschnittpunkte.

b) Berechnen Sie, falls vorhanden, die Extrempunkte.

c) Berechnen Sie, falls vorhanden, die Wendepunkte.

d)Bestimmen Sie die Funktionswerte für die Grenzen des Definitionsbereichs.

e)Bestimmen Sie die Fläche A_k zwischen den Achsenschnittpunkten und der x-Achse.

f)Fertigen Sie eine Wertetabelle für x =  -5;-4;,….4;5 an und zeichnen Sie den Graphen für k = 1;2;3;4 in ein Koordinatensystem.

g)Berechnen Sie die Funktionsgleichungen folgender Ortskurven: f_okh(x) Ortskurve der Hochpunkte von f_k(x) und f_okw(x) Ortskurve der Wendepunkte von f_k(x) und zeichnen Sie diese in das Koordinatensystem.

h)Berechnen Sie für k=4 die Fläche A_k und kennzeichnen Sie diese im Koordinatensystem.

6.Aufgabe: Gegeben sei die Funktion

a)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Achsenschnittpunkte. Für welche Werte von k gibt es Nullstellen?

b)Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen von f_k(x).

c)Untersuchen Sie f_k(x) auf Extremstellen und machen Sie eine Aussage über die Art des Extremums in Abhängigkeit von k.

e)Berechnen Sie die Fläche A_k zwischen den Nullstellen und der x-Achse in Abhängigkeit von k.

f)Zeichnen Sie den Graphen für x = -10,-9,-8,…0,1,2  (Wertetabelle) für k = -4;-2;0;2;4. Berechnen Sie zusätzlich die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte.

g)Berechnen Sie den Flächeninhalt A₄ und kennzeichnen Sie diese Fläche im Koordinatensystem.

7.Aufgabe: In einem Laborversuch soll die Entwicklung einer Bakterienkultur mit folgender Exponentialfunktion modelliert werden:

f(x) = n_o + a x e^{k x}     x = Zeit in Stunden     f(x) = Anzahl der Bakterien

a)Bestimmen Sie geeignete Werte für n_o, a und k, wenn die Anzahl der Bakterien bei Versuchsbeginn 4 Millionen beträgt und nach x = 8 Stunden auf maximal 12 Millionen angewachsen ist. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.

b)Zeichnen Sie den Graphen für 0 £ x £ 50.

c)Beschreiben Sie den Entwicklungsverlauf der Bakterienkultur.

d)Berechnen Sie den Wendepunkt. Interpretieren sie das Ergebnis in Bezug auf den Laborversuch.

e)Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall [0,8]. Welche Bedeutung könnte die Fläche (Anzahl der Bakterien mal Zeit)in Zusammenhang mit dem Laborversuch haben?

f)Bestimmen Sie die Asymptote für f(x). Von welcher Bedeutung ist diese für den Laborversuch?

8.Aufgabe: Der Zerfall radioaktiver Substanzen erfolgt nach dem Gesetz:

m(t) = a e ^{–k t}   für k> 0    t = Zeit in Tagen,    m(t) = vorhanden Jodmenge in mg

Bei einem wissenschaftlichen Experiment sind zu Beginn der Beobachtung in einem Versuchsbehälter 30 mg radioaktives Jod 131 vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 22 mg übrig.

a)Bestimmen Sie die Parameter a und k für das Zerfallsgesetz.

b)Wie viel Jod 131 ist nach einer Woche noch übrig?

c)Die Zeit, in der die Hälfte einer radioaktiven Substanz zerfällt, heißt Halbwertszeit. Berechnen Sie die Halbwertszeit für Jod 131.

d)Nach wie viel Tagen sind 80% der Ausgangmenge zerfallen?

e)Zeichnen Sie den Graphen der Zerfallsfunktion in ein geeignetes Koordinatensystem.