2. Klausur Jahrgst. 13/1 16. November 2009

LK Mathematik Sporenberg

Achtung: Denken Sie an eine ordentliche Darstellung und vergessen Sie nicht den erläuternden Text, auch wenn dieser nicht ausdrücklich gefordert wird.

1.Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f_a(x) = e^x (e^x – a ) mit a Î Â. K_a sei das Schaubild der Funktion f_a(x).

a) Geben Sie folgende Eigenschaften von K_a an:

I. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

II. Asymptoten

III. f_a’(x)

IV. Extrempunkte und Wendepunkte.

V. Fertigen Sie eine Wertetabelle für a=2 und a=3 im Bereich von -3; -2,5; -2; … 1,5 an und stellen Sie diese beiden Funktionen in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

b) Für welche Werte von a hat die Funktion keine Extrema?

c) Untersuchen Sie, ob sich zwei Funktionen mit unterschiedlichem a schneiden. Zeigen Sie dies rechnerisch.

d) Im Folgenden sei a=2.

I. Ermitteln Sie die Zielfunktion für denjenigen Punkt der Kurve, der die kürzeste Entfernung vom Koordinatenursprung hat. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Der gesuchte Punkt ist nicht zu berechnen.

II. Berechnen Sie den Inhalt A(u) der Fläche, die durch K₂, den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=u (u<0) begrenzt wird.

III. Untersuchen Sie das Verhalten von A(u) für u ® -¥.

2. Aufgabe: Für jedes a ( a Î Â, a > 0) ist eine Funktion f_a durch

f_a(x) = (2 x – 1 ) × e^{a x} gegeben.

a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f_a an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion f_a mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten der lokalen Extrempunkte (einschließlich der Art der Extrema).

Die Graphen der Funktionen f_a1 und f_a2 (a₁, a₂ Î Â, a₁, a₂ > 0, a₁ ¹ a₂) besitzen gemeinsame Punkte. Zeigen Sie, dass genau zwei solcher Punkte existieren.

Geben Sie eine Gleichung der Asymptote an.

b) Zeigen Sie, dass für jedes a der Graph der Funktion f_a genau einen Wendepunkt besitzt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g, auf deren Graph alle Wendepunkte liegen. Geben Sie auch den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion g an.

c) Zeichnen Sie die Graphen für a=2 und a=6 im Bereich -1,5;-1;-0.5;0;0.5;1;1,5 in ein geeignetes Koordinatensystem. Fertigen Sie jeweils eine Wertetabelle an.

d) Bestimmen Sie eine Stammfunktion F_a(x) der Funktion f_a(x). Für welche Funktion F_a(x) gilt F_a(0) = 0?

In allen folgenden Teilaufgaben ist nun a = 2.

e) Für jedes b (b Î Â; b < 0) begrenzen der Graph der Funktion f₂, die Koordinatenachsen sowie die Gerade mit der Gleichung x = b eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt A(b) dieser Fläche.

Ermitteln Sie A(-2), A(-10) und A(-100) und geben Sie eine Vermutung für den Grenzwert an.

f) Der Graph der Funktion f₂, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = -1 begrenzen eine Fläche vollständig. Diese erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers.

g) Für jedes u (u Î Â, u < 0) sind der Punkt P_u(u/f₂(u)), der Koordinatenursprung und der Punkt Q_u(u/0) Eckpunkte eines Dreiecks. Ermitteln Sie den Wert u, für den das zugehörige Dreieck den größten Flächeninhalt aller so gebildeten Dreiecke besitzt. Geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.

3.Aufgabe:

Achtung: Bei der Funktionsgleichung ist ein Fehler passiert.

Die Funktionsgleichung ist jetzt korrigiert.

Die jährliche Fördermenge (= Förderquote) einer Erzmine wird durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:

Die Variable t steht für die Zeit in Jahren und M(t) für die Förderquote in 1000 Tonnen pro Jahr. Im Jahr 1900 wurde mit einer Förderquote von 6000 Tonnen begonnen. Im Jahr 1971 erreichte die Förderquote ihr Maximum.

a) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktionsgleichung, wie lauten diese?

b) Setzen Sie für die weiteren Teilaufgaben a=6 und b=1/16. In welchem Jahr wurde die Förderung eingestellt?

c) Welche maximale Förderquote wurde 1971 erreicht?

d) In welchem Jahr war der Förderungszuwachs am größten?

e) Zeichnen Sie den Graphen von M(t) in ein geeignetes Koordinatensystem und beschreiben Sie die Entwicklung der Förderquote über den gesamten Abbauzeitraum.

f) Wie viel Erz wurde über den gesamten Abbauzeitraum gefördert?

g) Wie hoch war die durchschnittliche Förderquote im Zeitraum von 1960 bis 1980?

Hilfsmittel:

Nicht graphikfähiger Taschenrechner

Formelsammlung