Jahrgst. 13/2 - Leistungskurs Mathematik

Fachlehrer: H.Sporenberg – Datum: 11.03.2010

1.Aufgabe: Für jede Zahl k Î Â (k ¹ 0) ist eine Funktionenschar f_k gegeben mit der Funktionsgleichung f_k = k × (2 – ln (k x)) × ln (k x)

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f_k in Abhängigkeit von k!

Zeigen Sie, dass die erste Ableitung von f_k(x) lautet:

f_k’(x) =

Untersuchen Sie den Graphen von f_k(x) auf Schnittpunkt mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte (Auf die Überprüfung von f_k’’’(x) für die Wendepunkte kann verzichtet werden!)

Wie verhält sich der Graph von f_k an den Grenzen seines Definitionsbereiches?

b) Die lokalen Extrema des Graphen von f_k mit k > 0 liegen auf einer Kurve. Bestimmen Sie diese Ortskurve.

Stellen Sie die Funktion für k = 1 und k = 3 im Intervall 0 < x £ 8 in einem Koordinatenkreuz dar. Zeichnen Sie auch die Ortskurve der lokalen Extrema in dasselbe Koordinatensystem ein.

c) Zeigen Sie, das F_k(x) = - k x × (ln (k x) – 2)² mit k > 0 eine Stammfunktion von f_k ist!

Der Graph von f_k und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig. Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche unabhängig von k ist!

d) Zeigen Sie, dass es für jede reelle Zahl k (k ¹ 0) genau zwei Punkte des Graphen der Funktion f_k gibt, in denen die Tangente durch den Koordinatenursprung O verläuft.

e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t_k an den Graphen von f_k im Punkt !

2. Aufgabe: Der Turm einer Burg hat die Form eines Würfels, dem eine gerade Pyramide aufgesetzt ist (siehe Zeichnung). Die Kantenlänge des Würfels beträgt 8,00 m, die Höhe der Pyramide 7,00 m.

a) Die Ebene E₁ bzw. E₂ enthalten die Punkte E, F und K bzw. F, G und K. Stellen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene in der Hesse-Form auf.

b) Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Ebenen E₁ und E₂ aus Teilaufgabe a)?

c) Wie lang ist die Turmkante FK, und welchen Neigungswinkel hat sie gegenüber der xy-Ebene?

d) Auf der Spitze K des Turmes befindet sich ein 3,00 m langer Antennenmast, der auch als Fahnenmast dient. Ein Handybenutzer steht im Punkt T(0 / y / 0) und hält sein Handy in 1,60 m Höhe an sein Ohr. (Annahme: Die Ausbreitung der Wellen für den Handyempfang verlaufe geradlinig!). Wie weit entlang der y-Achse muss er sich mit dem Handy vom Turm mindestens entfernen, damit ein störungsfreier Empfang über den Antennenmast möglich ist? Die Aus-breitung der elektromagnetischen Wellen wird als geradlinig angesehen.

e) Aus Gründen der Stabilität wird in das Turmdach ein Balken eingezogen, von dessen Dicke abgesehen werden soll. Der Balken geht vom Mittelpunkt der Kante EH aus und stützt die Dachfläche FGK so ab, dass er senkrecht zu dieser Fläche steht. Berechnen Sie die Länge dieses Balkens.

3.Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f durch , mit x Î D_f.

a) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f, geben Sie deren Nullstellen an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen.

Geben Sie für die Funktion f die Koordinaten des lokalen Extrempunktes an.

b) Es existieren genau zwei Tangenten an den Graphen der Funktion f, die durch den Koordinatenursprung O(0/0) verlaufen. Ermitteln Sie rechnerisch für jede dieser Tangenten je eine Gleichung.

c) Für jedes u (u Î Â, < u < 10) sind die Punkte Q(10/0) und P_u(u/f(u)) Eckpunkte eines achsenparalleles Rechteck (d.h. die Strecke QP_u ist die Diagonale des Rechtecks). Unter diesen Rechtecken gibt es genau eines mit maximalem Flächeninhalt. Ermitteln Sie für diesen Fall die Koordinaten des Punktes und den Flächeninhalt des Rechtecks.

d) Die Funktion F mit (x Î Â, x > 2) ist eine Stammfunktion der Funktion f für x > 2.

Durch den Graphen der Funktion f sowie der Geraden mit den Gleichungen y = 3 und x = 10 wird eine Fläche vollständig begrenzt. Diese Fläche wird durch die Gerade mit der Gleichung y = in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen.

e) Für jedes a (a Î Â, a > 0) ist eine Funktion f_a mit mit x Î D_fa gegeben.

Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f₆ keine lokalen Extrempunkte besitzt. Untersuchen Sie, ob es weitere Werte a gibt, für die die Funktion f_a keine lokalen Extremstellen besitzt.

Zeigen Sie: . Ermitteln Sie den Wert a, für den die Funktion f_a die Wendestelle x_w = 0 besitzt.

Hilfsmittel

Nicht graphikfähiger Taschenrechner Formelsammlung

Lösung – 1. Aufgabe

1.Aufgabe: a) Für das Argument des Logarithmus muss gelten k x > 0.

Daraus ergibt sich: 1. k > 0 Þ D(f_k) = {x Î Â | x > 0} und 2. k < 0 Þ D(f_k) = {x Î Â | x < 0}

Für die Berechnung der Ableitung muss man die Produktregel anwenden und erhält:

Schnittpunkte mit der x-Achse:

Bedingung: f_k(x) = 0 Û I) ln (k x) = 0 oder II) 2 – ln (k x ) = 0

I) ln (k x ) = 0 Þ x₀₁ = 1/k Þ N₁ ( 1/k ; 0)

II) 2 – ln (k x ) = 0 Þ ln (k x) = 2 Þ x₀₂ = e² / k Þ N₂ ( e²/k ; 0)

Berechnung der Extrempunkte

Bedingung: f_k’(x) = 0 Û 1 – ln (k x ) = 0 (2 k/x ¹ 0, da k ¹ 0)

1 – ln (k x) = 0 Þ ln (k x) = 1 Þ x_E = e/k

Die zweite Ableitung lautet:

Damit ergibt die Überprüfung der Extremstelle:

f_k(e/k) = k

Damit ergibt sich für E(e/k ; k)

1.f_k’’(x_E) < 0 für k > 0, damit ist E ein Hochpunkt

2.f_k’’(x_E) > 0 für k < 0, damit ist E ein Tiefpunkt

Berechnung der Wendepunkte

f_k’’(x) = 0 Û ln(k x) – 2 = 0; (2 k/x² ¹ 0, da k ¹ 0)

Man erhält: ln ( k x) = 2 Þ x = e²/k Þ W(e² / k; 0)

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches:

k > 0, damit ist D(f_k) = {x Î Â | x > 0}

b) k > 0; HP(e/k ; k)

Damit ergibt sich x = e/k Þ k = e/x. Da y = k ist, ergibt sich für die Ortskurve:

y = e/x mit x> 0.

c) Der Nachweis besteht in der Ableitung der Funktion F_k(x). Dieses geschieht wieder mit Hilfe der Produktregel.

F_k(x) = - k x × (ln (k x) – 2)² mit k > 0

F_k’(x) = - k (ln (k x )² – k x × 2(ln (k x) – 2 ) × 1/x = (ln(k x) – 2 )[ - k(ln(k x) – 2) – 2 k] =

(ln (k x – 2)(- k ln (k x) + 2 k – 2k) = k (2 – ln(k x))ln(k x) = f_k(x)

(ln (k x – 2)(- k ln (k x) + 2 k – 2k) = k (2 – ln(k x))ln(k x) = f_k(x)

Die Fläche hat einen konstanten Wert, ist also unabhängig von k.

d) Die allgemeine Form der Tangentengleichung lautet: y = m x.

mit ; außerdem gilt f_k’(x_o) = m. Damit erhält man:

Þ 2 k – ln x_o – k ln² (k x_o) = 2 k – 2 k ln(k x_o), also ln² (k x_o) – 4 ln (k x_o) + 2 = 0

Substitution: ln (k x_o) = z ergibt: z² – 4 z + 2 = 0, also z _1,2 = 2 ± Þ

Für beliebiges k ¹ 0 gibt es jeweils zwei verschiedene x-Werte, also 2 Punkte, in denen die Tangente durch den Ursprung verläuft.

e)

Damit ergibt sich für die Tangentengleichung:

Lösung - 2. Aufgabe

2. Aufgabe: Turm besteht aus Würfel mit aufgesetzter Pyramide.

Kantenlänge des Würfels 8,00 m, Pyramidenhöhe 7,00 m

a)E₁ geht durch die Punkte E(4/-4/8), F(4/4/8) und K(0/0/15)

Daraus ergibt sich für E₁: 7 x + 4 z = 60

Die Hesse-Form ergibt sich dann zu:

E₂ geht durch die Punkte F(4/4/8), G(-4/4/8) und K(0/0/15)

Daraus ergibt sich für E₂: 7 y + 4 z = 60 und für die Hesse-Form:

b) Der Schnittwinkel zwischen E₁ und E₂ beträgt:

cos Winkel(E₁;E₂) = cos Winkel(n₁;n₂) =

a = 75,75^o

c) , damit ergibt sich für

g durch FK:

Der Neigungswinkel beträgt:

b = 51,06^o

d) S(0 / 0 / 18)

T(0 / y_t / 1,6)

L: Mittelpunkt von : L(0 / 4 / 8)

Gerade h durch S und L:

T Î h : Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

{y_t = 4 t ; 1,6 = 18 -10 t } Þ t = 1,64 und damit y_t = 6,56

y_t muss also mindestens 6,56 m betragen. Wenn man den Abstand vom Gebäude des Turmes annimmt, so sind es 6,56 m – 4 m = 2,56 m von der Mauer des Turmes.

e) Der Mittelpunkt M von EH ist M(0 / -4 / 8)

Die Balkenlänge entspricht dem Abstand des Punktes M von der Ebene FGK (E₁ aus Teilaufgabe a))

E₂: 7y + 4z = 60

Die Balkenlänge beträgt somit 6,95 m.

Lösung - 3. Aufgabe

a) D(f) = { x | xÎÂ x ¹ 2}

Nullstellen: 3 x² – 8 x = 0 Þ x = 0 Ú x = 8/3

N₁(0/0) und N₂(8/3 / 0)

Die 1. Ableitung lautet:

Die 2. Ableitung lautet:

Setzt man die 1. Ableitung gleich Null, so ergibt sich. 16 – 4 x = 0 Þ x = 4, die Überprüfung der 2. Ableitung ergibt f’’(4) = -1/2 <0, daher HP(4 / 4).

b)Die Gleichung der Tangente t im Punkt O(0/0) hat die Form y = m x, da sie durch den Koordinatenursprung geht: f’(0) = -2. Damit lautet die 1.Tangentengleichung y = -2 x.

Auch die 2. Tangente geht durch den Ursprung. Die 1. Ableitung gibt die Steigung der Tangente an (die Tangente hat natürlich wie oben auch die Form y = m x).

Es ergibt sich somit:

Formt man diese Gleichung um, so erhält man: 0 = 3 x³ – 10 x Þ x = 0 (entfällt) Ú x = 10/3

Die Tangente berührt den Graph der Funktion f an der Stelle x = 10/3. Die Steigung der

Tangente wird mit der 1. Ableitung berechnet. f’(10/3) = 9/8

Die Gleichung der 2. Tangente lautet somit: y = 9/8 x.

c)

Die Zielfunktion lautet: A(u) = f(u) × (10 – u)

Bildet man jetzt die 1. Ableitung, so erhält man:

Um ein Extrema zu bestimmen, muss die 1 .Ableitung gleich Null gesetzt werden. In diesem Fall muss der Zähler gleich Null gesetzt werden. Da es sich um eine Funktion 3. Grades handelt, sollte diese Funktion gezeichnet werden. Die Nullstelle liest man dann aus der Zeichnung ab. Eine andere Möglichkeit besteht im gezielten Probieren (Wertetabelle)

Aus dieser Wertetabelle ersieht man, dass x>3.45 und x<3.5 sein muss. Das deckt sich auch mit der Zeichnung.

Es ist also u » 3,49, setzt man in die Funktionsgleichung A(u) ein so erhält man:

A(3,49) » 25,2773 F.E.

d) Dargestellt ist die Fläche (rot) zwischen x=3 und x=10, dem Graphen von f(x) und der x-Achse. Die Gerade y=3 schneidet den Funktionsgraphen bei x=3.

Die Rechnung dazu lautet: . Um die rote Fläche zu bestimmen, muss folgendes Integral gelöst werden:

Um die Fläche (gelb) zwischen x=3, x=10, dem Funktionsgraphen und der Geraden y=3 zu erhalten, muss man von der oben berechneten Fläche (rot), die Fläche des Rechtecks (grün) abziehen (diese Fläche ist: A _Rechteck = 7×3 = 21 F.E. )

Damit ergibt sich für die gelbe Fläche: A_gelb = 25.82 F.E. – 21 F.E. = 4.82 F.E.

Jetzt muss noch die weiße Fläche berechnet werden. Dies ist die Fläche zwischen der Geraden y=3,5 und dem Funktionsgraphen. Dazu müssen die Grenzen (= Schnittpunkte der Geraden y=3,5 mit dem Funktionsgraphen) berechnet werden. Dies führt auf folgende Gleichung:

Das bedeutet, um die weiße Fläche zu berechnen, muss folgendes Integral gelöst werden:

Damit ist. A₁ = 1,38 F.E. und A₂ = 4,82 – 1,38 = 3,44 F.E.

Das Verhältnis ist somit:

e)Nachweis, dass kein Extrema besitzt.

Die 1.Ableitung lautet:

Setzt man die erste Ableitung = 0, so erhält man. 12 – 6x = 0 und daraus. x=2, dieser Wert liegt aber nicht im Definitionsbereich der Funktion.

Setzt man jetzt allgemein f_a’(x) = 0, so erhält man die Bedingung:

a x -12 x + 2 a = 0 Þ also: für a=12 gibt es ebenfalls keine Extrema.

Die zweite Ableitung ist angegeben. Damit f_a’’(x) = 0 wird, muss der Zähler Null werden. Es gilt:

Þ - 2 a x + 24 x + 24 – 8 a = 0 Es war z u berechnen, für welche a bei x=0 eine Wendestelle vorliegt. Setzt man in der obigen Gleichung x=0 so kommt man auf die Gleichung: 24 – 8 a = 0, dies ergibt a=3.